Question

【題目】如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端點(diǎn)的點(diǎn)，且．

（1） 當(dāng)∠BEA1為鈍角時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；

（2） 若λ＝，記二面角B1－A1B－E的的大小為θ，求|cosθ|．

Answer 1

【答案】（1）(，)．（2）．

【解析】

試題解析：

解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由題設(shè)，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．

因?yàn)?/span>，所以E(0，3，5λ)．

從而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)． 2分

當(dāng)∠BEA1為鈍角時(shí)，cos∠BEA1＜0，

所以＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，

解得＜λ＜．

即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(，)． 5分

（2）當(dāng)λ＝時(shí)，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．

設(shè)平面BEA1的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)，

由 得

取x＝1，得y＝，z＝1，

所以平面BEA1的一個(gè)法向量為n1＝(1，，1)． 7分

易知，平面BA1B1的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)．

因?yàn)閏os< n1，n2>＝，

從而|cosθ|＝． 10分