Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+3是偶函數(shù)，且其圖象過點（-1，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)F（x）=f（e^x-a）+f（e^-x-a）的最小值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由偶函數(shù)性質f（-x）=f（x）解得b=0，然后圖象過點（-1，4）得a=1，可得函數(shù)解析式，（2）先化簡F（x），然后令t=e^x+e^-x，換元后利用二次函數(shù)性質分類討論求最小值．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=ax²+bx+3是偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x），即ax^2_-bx+3=ax²+bx+3，解得b=0，
    又其圖象過點（-1，4）得f（-1）=4，即a+3=4，解得a=1
    則f（x）=x²+3；
（2）F（x）=f（e^x-a）+f（e^-x-a）=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²+4，
令t=e^x+e^-x，（t≥2），
令h（t）=t²-2at+2a²+4=（t-a）²+a²+4，
當a≤2時，h（t）_min=h（2）=2a²-4a+8，
當a＞2時，h（t）_min=h（a）=a²+4，
綜上，F(xiàn)（x）=

2a2-4a+8，a≤2 a2+4，a＞2

．

點評：本題考查函數(shù)最值問題，利用了函數(shù)的奇偶性以及二次函數(shù)的性質，屬于基礎題目．