Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，且S₃恰是a₄與a₁₂的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d∈Z，且d≥0，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程，求出公差d的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)；
（Ⅱ）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，代入

1

Sn

利用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)“

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

”即可證明結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d∈Z，且d≥0，
因?yàn)镾₃是a₄與a₁₂的等比中項(xiàng)，所以S32=a4a12，
又a₁=3，則[3×3+

3×2

2

×d]2=（3+3d）（3+11d），
即24d²-12d-72=0，則2d²-d-6=0，
解得d=2或d=-

3

2

（舍去），
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2），
則

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．