Question

（本小題滿分12分）
設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)”
（I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若 的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意成立。試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（III）對(duì)于M中的函數(shù) 的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的當(dāng)且

Answer 1

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823194244298914.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
又因?yàn)楫?dāng)，所以方程有實(shí)數(shù)根0，
所以函數(shù)是集合M中的元素。                  …………4分
（2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則            …………5分
不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)，
使得等式成立，                   …………7分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408231942444851310.png" style="vertical-align:middle;" />
與已知只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
…………9分
（3）不妨設(shè)為增函數(shù)，
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823194244547961.png" style="vertical-align:middle;" />為減函數(shù)，              …………10分
所以             …………11分
所以，
即
所以
…………12分

略