Question

過拋物線x²=4y的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，拋物線分別在A、B兩點處的切線交于Q點，則點Q的縱坐標是

-1

．

Answer 1

分析：先求出拋物線x²=4y的焦點坐標，得過拋物線x²=4y的焦點的直線方程，將所得方程與拋物線x²=4y聯(lián)解，消去y得：x²-4kx-4=0，根據韋達定理得x₁x₂=-4．再用函數求導數的方法，得拋物線過A點的切線方程為y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），化簡得y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，同理得到在點B處切線方程為y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，兩方程消去x，得兩切線交點Q縱坐標滿足y_Q=

x1x2

4

，可得點Q的縱坐標是-1．

解答：解：∵拋物線x²=4y的焦點為F（0，1）
∴設過拋物線x²=4y的焦點的直線為y=kx+1．
設直線與拋物線的交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=4y y=kx+1

，消去y得：x²-4kx-4=0，根據韋達定理，得x₁x₂=-4，
拋物線x²=4y，即二次函數y=

1

4

x²，對函數求導數，得y'=

1

2

x，
所以拋物線在點A處的切線斜率為k₁=

1

2

x₁，
可得切線方程為y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），化簡得y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，
同理，得到拋物線在點B處切線方程為y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，兩方程消去x，
得兩切線交點Q縱坐標滿足y_Q=

x1x2

4

∵x₁x₂=-4，
∴y_Q=-1，即點Q的縱坐標是-1．
故答案為：-1

點評：本題給出拋物線過焦點的弦，分別在兩個端點處的切線交于點Q，求Q點的縱坐標，考查了拋物線的基本概念和直線與拋物線的位置關系等知識點，屬于中檔題．