Question

【題目】已知拋物線C:, 過拋物線C上點(diǎn)M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點(diǎn)M的法線．

（1）若拋物線C在點(diǎn)M的法線的斜率為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）設(shè)P為C對稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P．若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上有三點(diǎn)，及，在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)，法線方程分別為，，，當(dāng)時(shí)，在上有一點(diǎn)，在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)，法線方程為．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)可得點(diǎn)處切線的斜率法線斜率為=點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)為上一點(diǎn)，由上點(diǎn)處的切線斜率,法線方程為法線過點(diǎn)；若的法線方程為：．再討論和，即可求得：當(dāng)時(shí)，有三點(diǎn)和三條法線；當(dāng)時(shí)，有一點(diǎn)和一條法線．

試題解析：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)處切線的斜率

過點(diǎn)的法線斜率為=，解得，。故點(diǎn)的坐標(biāo)為。

（2）設(shè)為上一點(diǎn)，

若，則上點(diǎn)處的切線斜率,過點(diǎn)的法線方程為， 法線過點(diǎn);

若，則過點(diǎn)的法線方程為：。

若法線過點(diǎn)，則，即。

若，則，從而，

代入得，。

若，與矛盾，若，則無解。

綜上，當(dāng)時(shí)，在上有三點(diǎn)，及，在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)，法線方程分別為，，。

當(dāng)時(shí)，在上有一點(diǎn)，在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)，法線方程為。