Question

已知函數(shù)
（1）若a∈N^*，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)，求a的值；
（2）若a∈R，且關(guān)于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)，求a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若對于區(qū)間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞m-x^-3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1），由于函數(shù)在（2，+∞）上遞減，所以2-a＞0，即a＜2，又a∈N^*，所以a=1；a=1時，---------------（4分）
（2）令F（x）=f（x）+x=，，
當(dāng)時，即（a-2）（a-6）＜0，
∴2＜a＜6時關(guān)于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)．（若用根與系數(shù)的關(guān)系求解，參照給分） （9分）
（3）由（1）a=1時，，不等式f（x）＞m-x^-3，即F（x）=+x^-3＞m對3≤x≤4恒成立，容易證明F（x）=+x^-3在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)，x=4時F（x）取最小值，所以m＜．
分析：（1）先將函數(shù)變形，利用函數(shù)在（2，+∞）上遞減，可得2-a＞0，借助于a∈N^*，可確定a的值；
（2）利用零點(diǎn)存在定理，可得不等式（a-2）（a-6）＜0，從而可確定a的取值范圍；
（3）不等式f（x）＞m-x^-3，對3≤x≤4恒成立，等價于F（x）=+x^-3＞m對3≤x≤4恒成立，只需要求出F（x）的最小值，就可以得到實數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查根的分布及恒成立問題的處理，有一定的綜合性．