Question

【題目】如圖，在底面為矩形的四棱錐中，，，且，其中分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)。

（1）證明：平面

（2）證明：平面

（3）求：直線(xiàn)與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)證明；(2) 見(jiàn)證明；(3)

【解析】

1）在平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行，再利用線(xiàn)面平行的判定定理說(shuō)明線(xiàn)面平行。2）在平面內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)與這條直線(xiàn)垂直，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理說(shuō)明線(xiàn)面垂直。3）線(xiàn)面所成角的正弦值，幾何法：過(guò)線(xiàn)上一點(diǎn)做平面的垂線(xiàn)段，垂線(xiàn)段與這點(diǎn)到線(xiàn)面交點(diǎn)線(xiàn)段的比值即為線(xiàn)面所成角的正弦值。

（1）證明：分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)

在中，

又四邊形是矩形，

直線(xiàn)平面，直線(xiàn)平面，平面

（2）證明：（法一）向量法

以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系。

，

又因?yàn)?/span>，所以，平面

（法二）設(shè)，因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，

，

又因?yàn)?/span>

因?yàn)?/span>

所以，，

因?yàn)?/span>所以，

因?yàn)?/span>，所以，平面

（3）取中點(diǎn)，連接，連接

因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以在中，

又因?yàn)?/span>，所以

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，