Question

已知拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)K（0，-1）的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)F在直線BD上；
（Ⅱ）設(shè)

FA

•

FB

=

8

9

，求∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線的一般式方程

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：本題（1）由拋物線方程得到焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，再設(shè)直線l的斜率為k，由方程組得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)關(guān)系，通過點(diǎn)A、D對(duì)稱關(guān)系得到直線BD的方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到出結(jié)論；（2）將向量條件

FA

•

FB

=

8

9

坐標(biāo)化，得到直線l的斜率，從而求出BD的方程，再利用點(diǎn)在y軸上，到直線l及BD的距離兩個(gè)條件，得到本題結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-x₁，y₁），直線l的方程為y=kx-1，
由

y=kx-1 x2=4y

得x²-4kx+4=0，
從而x₁+x₂=4k，x₁x₂=4． 
直線BD的方程為y-y1=

y2-y1

x2+x1

(x+x1)，
即y-

x12

4

=

x2-x1

4

(x+x1)，
令x=0，得y=

x1x2

4

=1，
所以點(diǎn)F在直線BD上．
（Ⅱ）解：因?yàn)?span id="woblf1y" class="MathJye">

FA

•

FB

=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)
=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=8-4k²，
 故8-4k2=

8

9

，解得k=±

4

3

，
所以直線l的方程為4x-3y-3=0，4x+3y+3=0．
又由（Ⅰ）得x2-x1=±

16k2-16

=±

4

3

7

，
故直線BD的斜率為

x2-x1

4

=±

7

3

，
因而直線BD的方程為

7

x-3y+3=0，

7

x+3y-3=0．
設(shè)∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)為M（0，t），
則點(diǎn)M到直線l及BD的距離分別為

3|t+1|

5

，

3|t-1|

4

，
由為

3|t+1|

5

=

3|t-1|

4

，得t=

1

9

，或t=9（舍去），
所以∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)為M(0，

1

9

)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)方程思想，充分利用相應(yīng)的方程解題，另外，結(jié)合角平分線上點(diǎn)的到角兩邊距離相等這一幾何特征，得到本題結(jié)論．本題有一定的思維難度，計(jì)算量較大，屬于中檔題．