Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)和a₁，a₂，a₃；
（2）求{a_n-1}的通項(xiàng)公式，并求出a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接由數(shù)列遞推式求得數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）由S_n=2a_n+1，得S_n-1=2a_n-1+1（n≥2），作差后可得數(shù)列{a_n}構(gòu)成以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式后可得{a_n-1}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）由S_n=2a_n+1，取n=1得，S₁=2a₁+1，∴a₁=-1．
取n=2得，S₂=a₁+a₂=2a₂+1，∴a₂=a₁-1=-1-1=-2．
取n=3得，S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+1，∴a₃=a₁+a₂-1=-4；
（2）由S_n=2a_n+1，得S_n-1=2a_n-1+1（n≥2），
兩式作差得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}構(gòu)成以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則an=-1×2n-1；
∴an-1=-1×(2n-1+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．