Question

（2012•臨沂二模）已知函數(shù)f（x）=

(x2+2ax)e-x，x＜0 bx，            x≥0

，g（x）=cln（-x）+b，且x=-

2

是函數(shù)y=f（x）極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a值；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l是函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線，且直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[-e，-

1

e

]，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，利用x=-

2

是函數(shù)y=f（x）極值點(diǎn)，建立方程，即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＜0時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而可得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，+∞），要使方程f（x）-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由此可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）先確定函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程，再利用直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[-e，-

1

e

]，可得切線l的方程，由此可得b=-c+cln(-x0)-4e2=-2e²[x₀-x₀ln（-x₀）+2]，構(gòu)造新函數(shù)h（x₀）=x₀-x₀ln（-x₀）+2，x₀∈[-e，-

1

e

]，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x²+2ax）e^-x，∴f′（x）=[-x²+（2-2a）x+2a]e^-x
∵x=-

2

是函數(shù)y=f（x）極值點(diǎn)，∴f′(-

2

)=0，∴-2+(2-2a)(-

2

)+2a=0，∴a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x²+2x）e^-x，f′（x）=（-x²+2）e^-x
①當(dāng)x＜-

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，+∞）；
②當(dāng)-

2

＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0）
綜上，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，+∞）；
要使方程f（x）-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴當(dāng)b＜0時(shí)，m=0或m=(2-2

2

)e

2

；當(dāng)b=0時(shí)，m∈（(2-2

2

)e

2

，0）；當(dāng)b＞0時(shí)，m∈（(2-2

2

)e

2

，+∞）；
（Ⅲ）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x²+2x）e^-x，f′（x）=（-x²+2）e^-x
∵f（-2）=0，f′（-2）=-2e²
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為y=-2e²（x+2），即y=-2e²x-4e²
∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[-e，-

1

e

]，
∴y₀=cln（-x₀）+b，又g′(x)=

c

x

，∴切線l的斜率為g′(x0)=

c

x0

∴切線l的方程為y-y0=

c

x0

(x-x0)，即y=

c

x0

x-c+cln(-x0)+b
∴

c x0 x=-2e2 -c+cln(-x0)+b=-4e 2

∴b=-c+cln(-x0)-4e2=-2e²[x₀-x₀ln（-x₀）+2]
令h（x₀）=x₀-x₀ln（-x₀）+2，x₀∈[-e，-

1

e

]，則h′（x₀）=-ln（-x₀）
令h′（x₀）=0，則x₀=-1
∴當(dāng)-e≤x₀＜-1時(shí)，h′（x₀）＜0，h（x₀）單調(diào)遞減；當(dāng)-1＜x₀≤-

1

e

時(shí)，h′（x₀）＞0，h（x₀）單調(diào)遞增
∵h(yuǎn)（-1）=1，h（-e）=2，h（-

1

e

）=2
∴1≤h（x₀）≤2
∴-4e²≤b≤-2e²
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-4e²，-2e²]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，綜合性強(qiáng)．