Question

已知函數(shù)f(x)=a-是偶函數(shù),a為實(shí)常數(shù).

(1)求b的值.

(2)當(dāng)a=1時(shí),是否存在n>m>0,使得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],若存在,求出m,n的值,否則,說(shuō)明理由.

 

Answer 1

(1) b=0 (2) 不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】(1)由已知,可得f(x)=a-的定義域?yàn)?/span>D=(-∞,)∪(,+∞).

又y=f(x)是偶函數(shù),故定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

于是,b=0(否則,當(dāng)b≠0時(shí),有-∈D且D,即D必不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)).

又對(duì)任意x∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0

因此所求實(shí)數(shù)b=0.

(2)由(1),可知f(x)=a-(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).

考察函數(shù)f(x)=a-的圖象,可知:f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),

又n>m>0,

∴y=f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù).

因y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n].

∴有

即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的正根.

∵Δ=4-8<0,∴此方程無(wú)解.

故不存在正實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足題意.