Question

已知拋物線的頂點為O（0，0），焦點在x軸上，且過點（2，4），
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與圓（x+2）²+y²=4相切的直線l：x=ky+t交拋物線于不同的兩點M，N．若拋物線上一點C滿足

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出拋物線方程為y²=2px，代入點（2，4），解出p，即可得到方程；
（2）運(yùn)用直線與圓相切的條件d=r，得，4k²=t²+4t，將直線與拋物線聯(lián)立，消去x，由判別式大于0，和韋達(dá)定理，由

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），得到C與M，N的坐標(biāo)之間的關(guān)系，由C在拋物線上，得到方程，化簡整理，并運(yùn)用t＜-6或t＞0，即可求出λ的范圍．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px，
將點（2，4）代入得，16=4p，p=4，
∴拋物線方程為y²=8x；
（2）∵直線l：x=ky+t與圓（x+2）²+y²=4相切，
∴

|t+2|

k2+1

=2得4k²=t²+4t，①
將l：x=ky+t代入y²=8x得，
y²-8ky-8t=0，
由△=64k²+32t＞0
即4k²+2t=t²+6t＞0得t＜-6或t＞0，
設(shè)C（x₀，y₀），則y₀²=8x₀，
由y₁+y₂=8k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2t，
∵

OC

=λ（

OM

+

ON

）（λ＞0），
∴x₀=λ（x₁+x₂）=λ（8k²+2t），y₀=λ（y₁+y₂）=8kλ，
∴（8kλ）²=8λ（8k²+2t），②
則①代入②化簡整理得，λ=1+

1

t+4

，
t+4=

1

λ-1

，∵t＞0或t＜-6，∴

1

2

＜λ＜1或1＜λ＜

5

4

．
∴λ的取值范圍是（

1

2

，1）∪（1，

5

4

）．

點評：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線與圓相切的條件，考查向量的坐標(biāo)表示，以及基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．