在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2,E是AB的中點(diǎn),F(xiàn)是DE的中點(diǎn),沿直線DE將△ADE翻折成棱錐A-BCDE,當(dāng)棱錐A-BCDE的體積最大時(shí),則直線AB與CF所成角的余弦值為
 
考點(diǎn):異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題:空間角,空間向量及應(yīng)用
分析:根據(jù)棱錐A-BCDE的體積最大時(shí),AF⊥底面BCDE,建立坐標(biāo)系即可得到結(jié)論.
解答: 解:作出對(duì)應(yīng)的圖象,由題意知當(dāng)棱錐A-BCDE的體積最大時(shí),滿足AF⊥底面BCDE,
以F為坐標(biāo)原點(diǎn),以FA,F(xiàn)C,F(xiàn)A分別為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系,
∵AB=2BC=2CD=2,
∴BC=CD=1,
則FA=
3
2
,F(xiàn)D=FC=
1
2
,
即D(
1
2
,0,0),E(-
1
2
,0,0),C(0,
3
2
,0),A(0,0,
3
2
),
設(shè)B(x,y,z),則
DC
=
EB

即(-
1
2
,
3
2
,0)=(x+
1
2
,y,z),
解得x=-1,y=
3
2
,z=0,即B(-1,
3
2
,0),
AB
=(-1,
3
2
,-
3
2
),
FC
=(0,
3
2
,0),
AB
FC
=
3
2
×
3
2
=
3
4
,|
FC
|=
3
2
,|
AB
|=
1+(
3
2
)2+(
3
2
)2
=
10
2
,
則cos<
AB
FC
>=
AB
FC
|
AB
|•|
FC
|
=
3
4
3
2
×
10
2
=
3
30
=
30
10

故直線AB與CF所成角的余弦值為
30
10
,
故答案為:
30
10
點(diǎn)評(píng):本題主要考查空間異面直線所成角的求解,建立坐標(biāo)系,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l與兩點(diǎn)A(2,3),B(4,-5)的距離相等,則直線l的方程為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,若a=1,b=bc,則“A=30°”是“B=60°”的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知2x+y=1,x>0,y>0,則
x+2y
xy
的最小值是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,若cosA•cosB-sinA•sinB>0,則這個(gè)三角形一定是( 。
A、銳角三角形
B、鈍角三角形
C、直角三角形
D、以上都有可能

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

四面體ABCD是正四面體,已知棱長(zhǎng)為1,則二面角A-CD-B的余弦值為( 。
A、
1
2
B、
1
3
C、
3
6
D、
2
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若f(n)為n2+1(n∈N*)的各位數(shù)字之和,如:62+1=37,則f(6)=3+7=10.記f1(m)=f(m),f2(n)=f(f1(n)),…fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,則f2015(4)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)短軸長(zhǎng)為2,左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,c為半焦距.若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作此圓的切線l,切點(diǎn)為T.
(1)當(dāng)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),l的斜率為-
3
3
,求橢圓的方程. 
(2)若|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c),圓F2與x軸的右焦點(diǎn)為C,過(guò)點(diǎn)C作斜率為k(k>0)的直線m與橢圓交于A,B兩點(diǎn).與圓F2交于另一點(diǎn)D兩點(diǎn),若O在以AB為直徑的圓上,求|CD|的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)若函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)上存在極值,其中a>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)如果當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)求證:[(n+1)]2>(n+1)•en-2(n∈N*).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案