Question

【題目】將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等．若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱(chēng)他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為（ ）

A.33B.56C.64D.78

Answer 1

【答案】B

【解析】

記分隔邊的條數(shù)為,首先將方格表按圖分成三個(gè)區(qū)域,, 分別染成三種顏色, 粗線上均為分隔邊，將方格表的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，行中方格出現(xiàn)的顏色為，列中方格出現(xiàn)的顏色為，三種顏色分別記為，對(duì)于一種顏色，設(shè)為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當(dāng)行含色方格時(shí)，，否則，類(lèi)似的定義，計(jì)算得到，再證明，再證明對(duì)任意均有，，最后求出分隔邊條數(shù)的最小值.

記分隔邊的條數(shù)為，首先將方格表按圖分成三個(gè)區(qū)域，如圖：

分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，此時(shí)共有56條分隔邊，則，

其次證明：，

將方格表的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，

行中方格出現(xiàn)的顏色為，列中方格出現(xiàn)的顏色為，

三種顏色分別記為，對(duì)于一種顏色，設(shè)為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，

定義當(dāng)行含色方格時(shí)，，否則，

類(lèi)似的定義，

所以

，

由于染色的格的行有個(gè)，列有個(gè)，則色的方格一定在這行和列的交叉方格中，從而，

所以所以①，

由于在行中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，

類(lèi)似地，在列中至少有條分隔邊，

則

②

③，

下面分兩種情況討論：

1、有一行或一列所有方格同色，不妨設(shè)為色，則方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363個(gè)，

故至少有行含有色的方格，于是④，

由①③④得；

2、沒(méi)有一行也沒(méi)有一列所有方格同色，對(duì)任意均有，，

從而由②可得；

綜上所述，分隔邊條數(shù)的最小值為56.

故選：B