Question

9．已知圓M與圓N：（x-$\frac{5}{3}$）²+（y+$\frac{5}{3}$）²=r²關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且點(diǎn)D（-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$）在圓M上
（1）判斷圓M與圓N的位置關(guān)系
（2）設(shè)P為圓M上任意一點(diǎn)，A（-1，$\frac{5}{3}$）．B（1，$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow{PA}$與$\overrightarrow{PB}$不共線，PG為∠APB的平分線，且交AB于G，求證△PBG與△APG的面積之比為定值．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得圓M的方程，再根據(jù)圓心距大于兩圓的半徑之和，可得兩圓相離．
（2）設(shè)∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，可得 $\frac{{S}_{△PBG}}{{S}_{△APG}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PB•PG•sin∠BPG}{\frac{1}{2}•PA•PG•sin∠APG}$=$\frac{PB}{PG}$．設(shè)點(diǎn)P（x，y），求得PA²和 PB²的值，可得$\frac{PB}{PA}$的值，即為△PBG與△APG的面積之比．

解答 解：（1）由于點(diǎn)N（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{3}$）關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)M（-$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$），
故圓M的方程為：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=r²．
把點(diǎn)D（-$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{3}$）在圓M上，可得r²=$\frac{16}{9}$，故圓M的方程為：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
可得圓N：（x-$\frac{5}{3}$）²+（y+$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$，N（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{3}$），
根據(jù)|MN|=$\sqrt{{（-\frac{5}{3}-\frac{5}{3}）}^{2}{+（\frac{5}{3}+\frac{5}{3}）}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$＞$\frac{8}{3}$，故兩圓相離．
（2）設(shè)∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，∴$\frac{{S}_{△PBG}}{{S}_{△APG}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PB•PG•sin∠BPG}{\frac{1}{2}•PA•PG•sin∠APG}$=$\frac{PB}{PA}$．
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
PA²=（x+1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x+1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=$\frac{-4}{3}$x；
PB²=（x-1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x-1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=-$\frac{16}{3}$x；
∴$\frac{{PB}^{2}}{{PA}^{2}}$=4，∴$\frac{PB}{PA}$=2，即 $\frac{{S}_{△PBG}}{{S}_{△APG}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．