Question

19．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=AD=2，CD=4，E為邊DC的中點(diǎn)．如圖1．將△ADE沿AE折起到△AEP位置，連PB、PC，點(diǎn)Q是棱AE的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱PC上，如圖2．
（1）若PA∥平面MQB，求PM：MC；
（2）若平面AEP⊥平面ABCE，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐A-MQB的體積．

Answer 1

分析 （1）連AC、BQ，設(shè)AC∩BQ=F，連MF，以四邊形ABCE為平行四邊形，則AE∥BC，△FMC∽△APC，即可求PM：MC；
（2）過點(diǎn)M作MN⊥QC于N，則MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱錐M-ABQ的高，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐A-MQB的體積．

解答 解：（1）連AC、BQ，設(shè)AC∩BQ=F，連MF．
則平面PAC∩平面MQB=MF，因?yàn)镻A∥平面MQB，PA?平面PAC，所以PA∥MF．（2分）
在等腰梯形ABCD中，E為邊DC的中點(diǎn)，所以由題設(shè)，AB=EC=2．
所以四邊形ABCE為平行四邊形，則AE∥BC．（4分）
從而△AFQ∽△CFB，AF：FC=AQ：CB=1：2．
又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM：MC=AF：FC=1：2．（7分）
（2）由（1）知，△AED是邊長為2的正三角形，從而PQ⊥AE．
因?yàn)槠矫鍭EP⊥平面ABCE，交線為AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ=$\sqrt{3}$．
因?yàn)镻Q?平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交線為QC．（9分）
過點(diǎn)M作MN⊥QC于N，則MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱錐M-ABQ的高．
因?yàn)镻Q⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN．
因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，所以MN=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（11分）
由（1）知，△ABE為正三角形，且邊長為2．所以，S△ABQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
三棱錐A-MQB的體積V_A-MQB=V_M-ABQ=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{4}$（14分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．