Question

如圖，設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過準(zhǔn)線上一點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若存在，求出值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），；（2）不存在.參考解析

試題分析：（1）由準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以可以求得的值，即可取得拋物線的方程.由于直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，所以聯(lián)立方程消去y，需要判別式大于零即可得到k的取值范圍，又由于k等于零時沒有兩個交點(diǎn)，所以應(yīng)排除，即可得到結(jié)論.
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線段的中點(diǎn).由直線AB的方程聯(lián)立拋物線的方程，即可求得AB中點(diǎn)P的坐標(biāo).從而寫出PF的方程再聯(lián)立拋物線的方程，對比DE的中點(diǎn)是否與AB的中點(diǎn)相同.即可得到答案.
（1）由已知得，∴．∴拋物線方程為．  2分
設(shè)的方程為，，，，，
由得．                         4分
，解得，注意到不符合題意，
所以．                                   5分
（2）不存在值，使點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．理由如下：       6分
有（1）得，所以，所以，，直線的方程為．            8分
由得，．  10分
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，有，即，因為，所以此方程無實數(shù)根．因此不存在值，使點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．      12分