Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，該雙曲線與拋物線y²=16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=6

5

，則雙曲線的方程為（　　）

A．x2- y2 3 =1

B． x2 2 - y2 6 =1

C． x2 3 -y2=1

D． x2 4 - y2 12 =1

Answer 1

∵拋物線y²=16x，2p=16，p=8，∴

p

2

=4．
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-4．
設(shè)雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線x=-4的兩個(gè)交點(diǎn)A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
則|AB|=|y-（-y）|=2y=6

5

，∴y=3

5

．
將x=-4，y=3

5

．
代入雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，得

16

a2

-

45

b2

=1，①
又雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，∴

c

a

=2，
即

a2+b2

a2

=4，b²=3a²②
由①②得a²=1，b²=3，
∴雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，
故選A．