Question

已知函數(shù)f（x）lnx-

a

x

，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時的導數(shù)，由f′（1）=-a-1=1求得a的值；
（2）把（1）中求得的a的值代入函數(shù)解析式，求出導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，判斷原函數(shù)的單調性，從而求得原函數(shù)的極值點并求得極值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+

a

x2

…（2分）
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x，
∴f′（1）=a+1=-1，∴a=-2…（4分）
（2）由（Ⅰ）知f（x）=lnx+

2

x

，則f′（x）=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

令f′（x）=0，解得x=2，又f（x）的定義域為（0，+∞）…（6分）
當x∈（0，2）時，f′（x）＜0∴f（x）在（0，2）內為減函數(shù)…（8分）
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0∴f（x）在（2，+∞）內為增函數(shù)…（10分）
由此知函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值f（2）=ln2+1，無極大值．…（11分）

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．