Question

已知函數(shù)f（x）=a^|x|（0＜a＜1）
（1）若|m|＜2，使得函數(shù)h（x）=f（x）-m有2個(gè)不同零點(diǎn)的概率是

 

；
（2）若方程[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有3個(gè)不同的根，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）函數(shù)h（x）=f（x）-m有2個(gè)不同零點(diǎn)，即為f（x）=m有2個(gè)不相等的實(shí)根，作出y=f（x）和直線y=m，由圖象可得0＜m＜1，有2個(gè)交點(diǎn)，再由幾何概率的定義，即可求得所求值；
（2）若方程[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有3個(gè)不同的根，則必有f（x）=1和0＜f（x）=t＜1，結(jié)合韋達(dá)定理和圖象即可得到b的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)h（x）=f（x）-m有2個(gè)不同零點(diǎn)，
即為f（x）=m有2個(gè)不相等的實(shí)根，
作出y=f（x）和直線y=m，由圖象可得當(dāng)0＜m＜1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，
由于所求概率為幾何概型，區(qū)域D：區(qū)間（-2，2），
區(qū)域d：區(qū)間（0，1），測度為長度，
則所求概率為

1-0

2-(-2)

=

1

4

；
（2）若方程[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有3個(gè)不同的根，
則必有f（x）=1和0＜f（x）=t＜1，
即有1+b+c=0，b²-4c＞0，t=c，1+t=-b，
解得-2＜b＜-1．
則b的取值范圍是（-2，-1）．
故答案為：

1

4

，（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要考查直線與指數(shù)函數(shù)的圖象的關(guān)系，考查幾何概率的求法和函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，屬于中檔題．