Question

已知函數(shù)
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若數(shù)列{a_m}的通項公式，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）在定義域x大于0上，令f^′（x）=0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間，注意分類討論；
（2）與數(shù)列有關(guān)的證明題，常用放縮法來解決．
解答：解：（1）由題意，函數(shù)的定義域為（-1，1）∪（1，+∞），，---（1分）
當(dāng)a≤0時，注意到，所以f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），（1，+∞），無減區(qū)間；---（2分）
當(dāng)a＞0時，，
由f^′（x）=0，得x²-2（2+a）x+1-a=0，
此方程的兩根，，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f^′（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，
f^′（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間為（x₁，1），（1，x₂），
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1），（1，+∞），無減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間為（x₁，1），（1，x₂），
其中，．--（6分）
（2）證明：當(dāng)a=1時，由（1）知，函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，--（7分）
則當(dāng)0＜x＜1時，，即，
令，則，
即，所以，---（10分）
又a_m＞0，所以=＜e＜3．----（12分）
點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握證明不等式成立時所常用的方法．