Question

已知銳角α，β滿足：sinβ=2cos(α+β)sinα，記y=tanβ，x=tanα，

    (Ⅰ)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)及定義域；

    (Ⅱ)求(Ⅰ)中函數(shù)y=f(x)的最大值及此時(shí)α，β的值.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵sinβ=2cos(α+β)sinα，

∴sin[(α+β)-α]=2cos(α+β)sinα，

即sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα  ①

∵α，β都是銳角，

∴0＜α+β＜π，sinβ＞sinα＞0，

∴由sinβ=2cos(α+β)sinα知cos(α+β)＞0

∴由①式，得tan(α+β)=3tanα，

即=3tanα，即=3x

∴y=(x＞0)，

即所求函數(shù)的解析式為y=f(x)=，其定義域?yàn)?0，+∞)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，y==，

當(dāng)且僅當(dāng)3x=，即x=時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)

tanα=，tanβ=，

∴α=，β=，

即函數(shù)y=f(x)的最大值為，此時(shí)，α=β=.