Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用再寫一式，兩式相減的方法，確定數(shù)列{a_n}；a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法得到前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
故{a_n}的通項公式為a_n=4n-2，即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差數(shù)列．
設(shè){b_n}的公比為q，則b₂（a₂-a₁）=b₁qd=b₁，d=4，∴q=

1

4

．
故b_n=b₁q^n-1=2×

1

4n-1

，即{b_n}的通項公式為b_n=

2

4n-1

．
（II）∵c_n=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=(2n-1)4n-1，

∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n-1， 4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n

兩式相減整理得T_n=

1

9

[（6n-5）•4ⁿ+5]．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．