Question

已知α，β∈（-

π

2

，

π

2

），tan（α+β+

π

6

）=

1

2

，tan（β-

π

6

）=-

1

3

，則α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：由tan（α+β+

π

6

）=

1

2

，利用兩角和的正切公式求得tan（α+β），再由tan（β-

π

6

）=-

1

3

，利用兩角差的正切公式求得tanβ，可得tanα=tan[（α+β）-β]的值，從而求得α的值．

解答： 解：∵已知α，β∈（-

π

2

，

π

2

），tan（α+β+

π

6

）=

1

2

，
∴

tan(α+β)+tan π 6

1-tan(α+β)tan π 6

=

tan(α+β)+ 3 3

1-tan(α+β)× 3 3

=

1

2

，求得tan（α+β）=

3-2 3

6+ 3

．
再由tan（β-

π

6

）=-

1

3

=

tanβ- 3 3

1+tanβ• 3 3

，可得tanβ=

3 3 -3

9+ 3

．
∵tanα=tan[（α+β）-β]=

tan(α+β)-tanβ

1+tan(α+β)tanβ

=-1，
∴α=-

π

4

，
故答案為：-

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．