Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1-a

a-x

（x≠a）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是增加的；
（2）當(dāng)x∈[a+

1

2

，a+1]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）可得f（x）在[a+

1

2

，a+1]上是增函數(shù)，從而求得當(dāng)x∈[a+

1

2

，a+1]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

解答： （1）證明：對于f（x）=

x+1-a

a-x

（x≠a）=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

，
設(shè)a＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（-1+

1

a-x1

）-（-1+

1

a-x2

）=

x1-x2

(a-x1)(a-x2)

，
由a＜x₁＜x₂，可得x₁-x₂＜0，a-x₁＜0，a-x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）可得f（x）在[a+

1

2

，a+1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=a+

1

2

時，f（x）取得最小值為-3；當(dāng)x=a+1時，f（x）取得最大值為-2，
故f（x）的值域為[-3，-2]．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．