【題目】已知函數(shù)，，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：函數(shù)在定義域上只有一個零點

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令得或，再對分類討論可得；

（2）由（1）函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理，分類討論計算可得；

解：（1），，

令得或，易知，當時，；當時，，

①當時，，故在單調(diào)遞減；

②當時，令得或，令得，

故在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

③當時，令得或，令得，

故在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

綜上，當時，在單調(diào)遞減；

當時，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

當時，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，①當時，在單調(diào)遞減；

且，

，即，故函數(shù)在上只有一個零點.

②當時，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；故的極小值為，因此在上無零點；的極大值為，又，，故在上有一個零點，因此，函數(shù)在上只有一個零點.

③當時，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故的極小值為，又，，故在上有一個零點，的極大值為，又，故在上無零點，因此，函數(shù)在上只有一個零點.

綜上，函數(shù)在上只有一個零點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，則當時，討論的單調(diào)性；

（2）若，且當時，不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù) 在 處的切線方程為，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)，當時，求的最小值；

（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】健身館某項目收費標準為每次60元，現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動：具體收費標準如下：

消費次數(shù)

第1次

第2次

第3次

不少于4次

收費比例

0.95

0.90

0.85

0.80

現(xiàn)隨機抽取了100位會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：

消費次數(shù)

1次

2次

3次

不少于4次

頻數(shù)

60

25

10

5

假設(shè)該項目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：

（1）估計1位會員至少消費兩次的概率

（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲，乙二人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的.

（Ⅰ）求袋中原有白球的個數(shù)：

（Ⅱ）求取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.

(1)求證:四棱錐為陽馬;

(2)若,當鱉膈體積最大時,求銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年春季，某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來報廢的出租車，現(xiàn)有采購成本分別為萬元/輛和萬元/輛的兩款車型，根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù)，得到兩款出租車車型使用壽命頻數(shù)表如下：

（1）填寫下表，并判斷是否有的把握認為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關(guān)？

（2）從和的車型中各隨機抽取車，以表示這車中使用壽命不低于年的車數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)公司要求，采購成本由出租公司負責(zé)，平均每輛出租車每年上交公司萬元，其余維修和保險等費用自理.假設(shè)每輛出租車的使用壽命都是整數(shù)年，用頻率估計每輛出租車使用壽命的概率，分別以這輛出租車所產(chǎn)生的平均利潤作為決策依據(jù)，如果你是該公司的負責(zé)人，會選擇采購哪款車型？

附：，.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρsinθ＝2．

（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；

（2）曲線C2上兩點與點B（ρ2，α），求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求直線l和曲線C的極坐標方程；

（2）若直線與直線l相交于點A，與曲線C相交于不同的兩點M，N.求的最小值.

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