Question

17．如果數(shù)列a₁，$\frac{a_2}{a_1}$，$\frac{a_3}{a_2}$，…，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$，…是首項(xiàng)為1，公比為$\sqrt{2}$的等比數(shù)列，${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$，n≥2，$\lim_{n→∞}（{b_2}+{b_3}…+{b_n}）$=4．

Answer 1

分析 運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)和恒等式a_n=a₁•$\frac{a_2}{a_1}$•$\frac{a_3}{a_2}$•…•$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$，化簡(jiǎn)整理，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合數(shù)列極限的性質(zhì)，即可計(jì)算得到．

解答 解：由題意可得a_n=a₁•$\frac{a_2}{a_1}$•$\frac{a_3}{a_2}$•…•$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=1•$\sqrt{2}$•（$\sqrt{2}$）²•…•（$\sqrt{2}$）^n-1
=$（\sqrt{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{\frac{n（n-1）}{2}lo{g}_{2}\sqrt{2}}$=$\frac{4}{n（n-1）}$=4（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
即有$\lim_{n→∞}（{b_2}+{b_3}…+{b_n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$4（1-$\frac{1}{n}$）=4-4$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{n}$=4-0=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列恒等式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列求和的方法：裂項(xiàng)相消求和，考查數(shù)列極限的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．