Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，S₉=99，a₁₀=21．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）設(shè)T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由解得a₁=3，d=2，由此能求出S_n=n²+2n．
（3）由

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用裂項求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵S₉=99，a₁₀=21，
∴

9a1+ 9×8 2 d=99 a1+9d=21

，解得a₁=3，d=2，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
（3）

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和裂項求和法的合理運用．