Question

函數(shù)f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c為常數(shù)）的圖象過原點，且對任意x∈R總有f(x)≤f(

π

3

)成立；
（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；
（2）試比較f(

b

a

)與f(

c

a

)的大小關(guān)系．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）圖象過原點可得f（0）=0，由對任意x∈R總有f(x)≤f(

π

3

)及最大值為1得f（

π

3

）=1，且有f′（

π

3

）=0，聯(lián)立方程組可解；
（2）由（1）可知a=

3

b、c=-b，f(

π

3

)=2b+c為最大值，從而知b＞0，a＞0，而

b

a

=

3

3

、

c

a

=-

3

3

，利用作差f(

b

a

)-f(

c

a

)=2asin

3

3

可比較大小；

解答： 解：（1）由題意，得

f(0)=b+c=0 f( π 3 )= 3 2 a+ b 2 +c=1 f′( π 3 )= a 2 - 3 2 b=0

，
解得a=

3

，b=1，c=-1，
∴f(x)=

3

sinx+cosx-1．
（2）由（1）可知a=

3

b、c=-b，
∴

b

a

=

3

3

，

c

a

=-

3

3

，
∴f(

b

a

)-f(

c

a

)=2asin

3

3

，
∴f(

b

a

)-f(

c

a

)＞0，即f(

b

a

)＞f(

c

a

)．

點評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)值的大小比較，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．