Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為

3

（其中點(diǎn)O是橢圓的中心），橢圓的離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)P(0，2

3

)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，使得點(diǎn)N恰好是線段PM的中點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出S△OAB=

1

2

ab=

3

，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2

3

，代入橢圓方程(3+4k2)x2+16

3

kx+36=0，利用根的判別式和韋過(guò)定理求出直線l的方程為y=±

9 5

10

x+2

3

．

解答： 解：（1）由題S△OAB=

1

2

ab=

3

，

c

a

=

1

2

又a²=b²+c²…（3分）
解得a=2，b=

3

，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）∵點(diǎn)N恰好是線段PM的中點(diǎn)，∴

PM

=2

PN

，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1，①
（�。┤糁本�l的斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為：y=kx+2

3

②
聯(lián)立①②消y得(3+4k2)x2+16

3

kx+36=0，
△=(16

3

k)2-4(3+4k2)×36＞0⇒k2＞

9

4

，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

16 3 k

3+4k2

，③
x1x2=

36

3+4k2

④…（7分）
又由題可知

PM

=2

PN

，得x₁=2x₂⑤
③④⑤聯(lián)立消x₁，x₂得

(3x2)2

2x22

=

64

3

•

k2

3+4k2

…（9分）
解得k2=

81

20

，
此時(shí)直線l的方程為y=±

9 5

10

x+2

3

…（10分）
（ⅱ）若直線l的斜率不存在，
M，N的坐標(biāo)為(0，±

3

)，明顯不合題意．…（11分）
故所求直線l存在，方程為y=±

9 5

10

x+2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．