Question

如圖，△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=90°，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，將△ADE沿DE折到△A′DE的位置，使平面A′DE⊥平面BCED．
（1）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)平面A′BC與平面A′DE所成的二面角的平面角為α（0＜α＜

π

2

），直線A'C與平面A'DE所成角為β，求tan（α+β）的值；
（2）當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四梭錐A′-BCED體積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先找出α、β，求出tanβ=

2

2

，利用兩角和的正切公式，求tan（α+β）的值；
（2）表示出求四梭錐A′-BCED體積，利用導(dǎo)數(shù)求最大值．

解答： 解：（1）作CF⊥DE于F，連接A′F，則CF⊥平面A′DE，
∴∠CA′F=β，
在矩形BCFD中，CF=BD=1，DF=BC=1，
在Rt△A′DF中，A′F=

2

，tanβ=

CF

A′F

=

2

2

，
作A′P∥DE，∵DE∥BC，
∴A′P∥BC，
∵平面A′BC∩平面A′DE=A′P，A′P⊥A′D，A′P⊥A′B，
∴∠BA′D=α=

π

4

，
∴tan（α+β）

1+ 2 2

1- 2 2

=3+2

2

（2）設(shè)A′D=x，x∈（0，2），則DE=

x

2

，BD=2-x，
∴四梭錐A′-BCED體積V=

1

3

•

( x 2 +1)(2-x)

2

•x=

4x-x3

12

，
∴V′=

4-3x2

12

，
令V′=0，可得x=

2 3

3

，且在（0，

2 3

3

）遞增，在（

2 3

3

，2）遞減，
∴x=

2 3

3

時(shí)，四梭錐A′-BCED體積的最大值為

4 3

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查體積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．