Question

已知數(shù)列{a_n}的前項和S_n=n²+2n．
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_n•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）在（2）的條件下，求證：數(shù)列{b_n}中任何三項都不可能成等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，a₁=S₁=3符合上式，由此得到an=2n+1，n∈N*，從而能證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）由bn=(2n+1)•2n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（3）假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在三項a_s，a_t，a_k（s，t，k∈N^*，且s＜t＜k）成等比數(shù)列，利用反證法能推導(dǎo)出這個假設(shè)不成立，從而證明數(shù)列{b_n}中任何三項都不可能成等比數(shù)列．

解答： （1）證明：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
a₁=S₁=3符合上式，
∴an=2n+1，n∈N*，
∵a_n+1-a_n=[2（n+1）-1]-（2n+1）=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）解：∵bn=(2n+1)•2n-1，
∴Tn=3•20+5•2+7•22+…+(2n+1)•2n-1，
2Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n，
兩式相減，得：
-Tn=3•20+2(2+22+23+…+2n-1)-（2n+1）•2ⁿ
=3+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1．
（3）證明：假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在三項a_s，a_t，a_k（s，t，k∈N^*，且s＜t＜k）成等比數(shù)列，
則[（2s+1）•2^s-1]•[（2k+1）•2^k-1]=[（2t+1）•2^t-1]²，
∴（2s+1）（2k+1）•2^s+k=（2t+1）•2^2t．
①若s+k=2t，則（2s+1）（2k+1）=（2t+1）²，
∴4sk+2（s+k）+1=4t²+4t+1，
∴sk=

1

4

(s+k)2，∴s=k，與s＜k矛盾．
②若s+k＞2t，則（2s+1）（2k+1）•2^s+k-2t=（2t+1）²，
上式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾．
③若s+k＜2t，則（2s+1）（2k+1）=（2t+1）²•2^2t-（s+k），
上式左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，矛盾．
綜上所述，數(shù)列{b_n}中任何三項都不可能成等比數(shù)列．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列{b_n}中任何三項都不可能成等比數(shù)列的證明．解題時要注意反證法的合理運用．