Question

如圖，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C₁：+y²=1和C₂：+=1，判斷C₂與C₁是否相似，如果相似則求出C₂與C₁的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓C_b上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）橢圓C₂與C₁相似．先求得橢圓C₂與橢圓C₁的特征三角形的腰長和底邊長，可發(fā)現(xiàn)兩特征三角形相似，進(jìn)而可判斷兩橢圓相似．
（2）先假設(shè)存在，得到點(diǎn)M，N的直線方程和中點(diǎn)坐標(biāo)，然后聯(lián)立橢圓和直線消去y得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得到兩根之和，即得到MN中點(diǎn)x的值，代入到直線可確定y的值，再由MN的中點(diǎn)在直線上可求得t的值．
解答：解：（1）橢圓C₂與C₁相似．
因?yàn)镃₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為2的等腰三角形，
而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，
因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為2：1
（2）假定存在，則設(shè)M、N所在直線為y=-x+t，MN中點(diǎn)為（x，y）．
則∴5x²-8xt+4（t²-b²）=0．
所以x==，y=．
中點(diǎn)在直線y=x+t上，所以有t=-．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)的簡單應(yīng)用和直線與橢圓的綜合問題．直線與圓錐曲線是高考的重點(diǎn)問題，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，一定要引起重視．