Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，﹣6）處的切線方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=（x3+x﹣16）'=3x2+1，

∴在點(diǎn)（2，﹣6）處的切線的斜率k=f′（2）=3×22+1=13，

∴切線的方程為y=13x﹣32

（2）解：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則直線l的斜率為f'（x0）=3x02+1，

∴直線l的方程為y=（3x02+1）（x﹣x0）+x03+x0﹣16．

又∵直線l過點(diǎn)（0，0），∴0=（3x02+1）（﹣x0）+x03+x0﹣16，

整理，得x03=﹣8，∴x0=﹣2，∴y0=（﹣2）3+（﹣2）﹣16=﹣26，直線l的斜率k=3×（﹣2）2+1=13，

∴直線l的方程為y=13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣26）

【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出函數(shù)在（2，﹣6）處的導(dǎo)數(shù)即斜率，易求切線方程．（2）設(shè)切點(diǎn)為（x0 ， y0），則直線l的斜率為f'（x0）=3x02+1，從而求得直線l的方程，有條件直線1過原點(diǎn)可求解切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線1的方程．
【考點(diǎn)精析】利用點(diǎn)斜式方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為則：．