【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+x﹣16.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,﹣6)處的切線方程;
(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】
(1)解:∵f'(x)=(x3+x﹣16)'=3x2+1,
∴在點(diǎn)(2,﹣6)處的切線的斜率k=f′(2)=3×22+1=13,
∴切線的方程為y=13x﹣32
(2)解:設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則直線l的斜率為f'(x0)=3x02+1,
∴直線l的方程為y=(3x02+1)(x﹣x0)+x03+x0﹣16.
又∵直線l過點(diǎn)(0,0),∴0=(3x02+1)(﹣x0)+x03+x0﹣16,
整理,得x03=﹣8,∴x0=﹣2,∴y0=(﹣2)3+(﹣2)﹣16=﹣26,直線l的斜率k=3×(﹣2)2+1=13,
∴直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,﹣26)
【解析】(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再求出函數(shù)在(2,﹣6)處的導(dǎo)數(shù)即斜率,易求切線方程.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0 , y0),則直線l的斜率為f'(x0)=3x02+1,從而求得直線l的方程,有條件直線1過原點(diǎn)可求解切點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得直線1的方程.
【考點(diǎn)精析】利用點(diǎn)斜式方程對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知直線的點(diǎn)斜式方程:直線經(jīng)過點(diǎn),且斜率為則:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四種說法:
①垂直于同一平面的所有向量一定共面;
②在△ABC中,已知 ,則∠A=60°;
③在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,則A=
④若a>0,b>0,a+b=2,則a2+b2≥2;
正確的序號有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),動點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離是 ,線段MF1的中垂線交MF2于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí),求動點(diǎn)P的軌跡G的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m與軌跡G交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角分別為α、β,且α+β=π,求證:直線l經(jīng)過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義函數(shù)序列: ,f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,fn(x)=f(fn﹣1(x)),則函數(shù)y=f2017(x)的圖象與曲線 的交點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)定點(diǎn)M(3, )與拋物線y2=2x上的點(diǎn)P的距離為d1 , P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d2 , 則d1+d2取最小值時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.(0,0)
B.(1, )
C.(2,2)
D.( ,- )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=CD=DD1=2AB=2. (Ⅰ) 求證:AD1⊥B1C;
(Ⅱ) 求二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①f(x)+f(2﹣x)=0;②f(x﹣2)=f(﹣x),③在[﹣1,1]上表達(dá)式為f(x)= ,則函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)= 的圖象在區(qū)間[﹣3,3]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.5
B.6
C.7
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)對任意的x∈(﹣ , )滿足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式成立的是( )
A. f(﹣ )<f(﹣ )
B. f( )<f( )
C.f(0)>2f( )
D.f(0)> f( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PB⊥AC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,PA=2,點(diǎn)M在線段PD上. (Ⅰ)求證:AB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°,試確定點(diǎn)M的位置.
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