Question

已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0≤x＜2π），
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）由題意得：f（x）=2sinxcosx+3（sinx+cosx），
設(shè)sinx+cosx=t，則sin2x=t²-1，
于是只要求g（t）=t²+3t-1的值域．
又∵，故與時(shí)，g（t）取得最值．
即f（x）的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/47427.png' />…（6分）
（2）f'（x）=2cos2x+3（cosx-sinx）=（cosx-sinx）（2cosx+2sinx+3）
而2cosx+2sinx+3＞0
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為…（12分）
分析：（1）設(shè)sinx+cosx=t，則sin2x=t²-1，本題即求g（t）=t²+3t-1的值域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出g（t）的值域．
（2）求出f'（x）的解析式，則使f'（x）＞0的區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，使f'（x）＜0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，簡(jiǎn)單符合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．