Question

15．已知直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），并且與直線2x+4y+9=0平行．
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l與圓x²+y²+x-6y+m=0相交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）先求與直線2x+y-5=0平行的直線的斜率，再根據(jù)其過(guò)點(diǎn)（1，-3），用點(diǎn)斜式求直線方程；
（2）先將直線與圓的方程聯(lián)立，得到5y²-20y+12+m=0，再由韋達(dá)定理分別求得y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$，又因?yàn)镺P⊥OQ，轉(zhuǎn)化為x₁•x₂+y₁•y₂=0求解．

解答 解：（1）∵直線2x+4y+9=0的斜率k=-$\frac{1}{2}$，
∴所求直線斜率k′=-$\frac{1}{2}$．
故過(guò)點(diǎn)（1，1）且與已知直線平行的直線為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即x+2y-3=0．
（2）設(shè)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由OP⊥OQ可得：$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x²+y²+x-6y+m=0
化簡(jiǎn)得：5y²-20y+12+m=0，
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=$\frac{12+m}{5}$．
∴x₁•x₂+y₁•y₂=（3-2y₁）•（3-2y₂）+y₁•y₂=9-6（y₁+y₂）+5y₁•y₂
=9-6×4+5×$\frac{12+m}{5}$=m-3=0
解得：m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的平行關(guān)系，直線的點(diǎn)斜式方程，考查直線與圓的位置關(guān)系其其方程的應(yīng)用，應(yīng)用了韋達(dá)定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是�？碱}型，屬中檔題．