Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公差為d，且不等式ax²-3x+2＜0的解集為（1，d）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若b_n=a_n（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n，證明$\frac{1}{2}$≤T_n$＜\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 （1）顯然x=1為方程ax²-3x+2=0的一個解，進(jìn)而可知a=1、d=2，從而可得結(jié)論；
（2）通過a_n=2n-1可知b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，利用錯位相減法可知T_n=$\frac{10}{9}$-$\frac{12n+10}{9}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）解：∵不等式ax²-3x+2＜0的解集為（1，d），
∴a-3+2=0，即a=1，
∴x²-3x+2＜0的解集為（1，2），即d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：∵a_n=2n-1，
∴b_n=a_n（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+5•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，
$\frac{1}{{2}^{2}}$•T_n=1•$\frac{1}{{2}^{3}}$+3•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{3}{4}$•T_n=$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}（1-\frac{1}{{2}^{2n-2}}）}{1-\frac{1}{{2}^{2}}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{5}{6}$-$\frac{1}{3}•\frac{1}{{2}^{2n-2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{5}{6}$-$\frac{6n+5}{6}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{4}{3}$[$\frac{5}{6}$-$\frac{6n+5}{6}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$]=$\frac{10}{9}$-$\frac{12n+10}{9}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∵對任意的正整數(shù)n$\frac{12n+10}{9}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$＞0恒成立，
∴T_n$＜\frac{10}{9}$，
又∵T_n≥T₁=b₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤T_n$＜\frac{10}{9}$．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．