Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）證明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐P-BCE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AC交BD于O，連接PO．菱形ABCD中，證出AC⊥BD且O是BD的中點(diǎn)，從而得到PO是等腰△PBD中，PO是底邊BD的中線，可得PO⊥BD，結(jié)合PO、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線，證出BD⊥平面PAC，從而得到PC⊥BD；
（II）根據(jù)ABCD是邊長為2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面積為，△PAO中證出AO²+PO²=6=PA²可得PO⊥AC，結(jié)合PO⊥BD證出PO⊥平面ABCD，所以PO=是三棱錐P-ABC的高，從而三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC=1，再由E為PA中點(diǎn)算出三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC=，進(jìn)而可得三棱錐P-BCE的體積等于V_P-ABC-V_E-ABC=，得到本題答案．
解答：解：（I）連接AC交BD于O，連接PO
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中點(diǎn)
∵△PBD中，PD=PB，O為BD中點(diǎn)，∴PO⊥BD
∵PO、AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD；
（II）∵ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，
∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面積為S=AC×BO=
∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中線PO=BD=
因此，△PAO中AO²+PO²=6=PA²
∴PO⊥AC，結(jié)合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，
得到三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC=×S_△ABC×PO==1
∵E為PA中點(diǎn)，∴E到平面ABC的距離d=PO=
由此可得三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC=×S_△ABC×d=×=
因此，三棱錐P-BCE的體積V_P-EBC=V_P-ABC-V_E-ABC=．
點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為菱形的四棱錐，求證線線垂直并求錐體的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及面積計(jì)算和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．