Question

17．已知a₁=2，a₂=3，a_n+1=6a_n-1-a_n（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 通過對(duì)a_n+1=6a_n-1-a_n（n≥2）變形可知a_n+1+3a_n=2（a_n+3a_n-1）（n≥2），進(jìn)而數(shù)列{a_n+3a_n-1}是以9為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，從而a_n+3a_n-1=9•2^n-2，對(duì)其變形可知a_n-9•2^n-1=-3（a_n-1-$\frac{9}{5}$•2^n-2），進(jìn)而數(shù)列{a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1}是以$\frac{1}{5}$為首項(xiàng)、-3為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=6a_n-1-a_n（n≥2），
∴a_n+1+3a_n=2（a_n+3a_n-1）（n≥2），
又∵a₂+3a₁=3+3•2=9，
∴數(shù)列{a_n+3a_n-1}是以9為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+3a_n-1=9•2^n-2，
∴a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1=-3（a_n-1-$\frac{9}{5}$•2^n-2），
又∵a₁-$\frac{9}{5}$=2-$\frac{9}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴數(shù)列{a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1}是以$\frac{1}{5}$為首項(xiàng)、-3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1=$\frac{1}{5}$•（-3）^n-1，
∴a_n=$\frac{9}{5}$•2^n-1+$\frac{1}{5}$•（-3）^n-1，
又∵a₁=2、a₂=3滿足上式，
∴a_n=$\frac{9}{5}$•2^n-1+$\frac{1}{5}$•（-3）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．