Question

已知直線兩直線l₁：xcosα+

1

2

y-1=0；l₂：y=xsin（α+

π

6

），△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，a=2

2

，c=4，且當(dāng)α=A時，兩直線恰好相互垂直；
（Ⅰ）求A值；
（Ⅱ）求b和△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由α=A，表示出兩直線的斜率，由兩直線垂直時斜率乘積為-1列出關(guān)系式，整理求出A的值即可；
（Ⅱ）由余弦定理列出關(guān)系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)α=A時，直線l₁：xcosα+

1

2

y-1=0；l₂：y=xsin（α+

π

6

）的斜率分別為k₁=-2cosA，k₂=sin（A+

π

6

），
∵兩直線相互垂直，
∴k₁k₂=-2cosAsin（A+

π

6

）=-1，即cosAsin（A+

π

6

）=

1

2

，
整理得：cosA（

3

2

sinA+

1

2

cosA）=

1

2

，即

3

2

sinAcosA+

1

2

cos²A=

1

2

，
化簡得：

3

4

sin2A+

1+cos2A

4

=

1

2

，即

3

2

sin2A+

1

2

cos2A=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，即0＜2A＜2π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=2

3

，c=4，A=

π

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccos

π

3

，即12=b²+16-4b，
解得：b=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．