Question

17．函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$的最小值是$\frac{5}{2}$．設(shè)x、y∈R⁺且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，則x+y的最小值為16．

Answer 1

分析 換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)$y=\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$的最小值；利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，求出x+y的最小值．

解答 解：設(shè)$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t（t≥2），則y=t+$\frac{1}{t}$在[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)的最小值為$\frac{5}{2}$；
∵$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，x、y∈R⁺，
∴x+y=（x+y）•（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$≥10+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}$=16（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x}=\frac{9x}{y}$，x=4，y=12時(shí)取“=”）
∴x+y的最小值為16．
故答案為：$\frac{5}{2}$；16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最小值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式的運(yùn)用，選擇正確的方法是關(guān)鍵．