Question

若向量

m

=(

3

sinωx，0)

n

=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函數(shù)f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，且當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，f(x)的最大值為1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t求出向量的數(shù)量積，利用二倍角公式以及兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，求出函數(shù)的周期，得到ω，利用x∈[0，

π

3

]時，f(x)的最大值為1．
求出t，得到函數(shù)的解析式．
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（I）由題意得f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t=

m

2+

m

•

n

=3sin2ωx+

3

sinωx•cosωx+t
=

3

2

-

3

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+t
=

3

sin(2ωx-

π

3

)+

3

2

+t…(4分)
∵對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

∴f（x）的最小正周期為T=π∴

2π

2ω

=π，∴ω=1…（6分）
∴f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)+

3

2

+t，
當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]
∴2x-

π

3

=

π

3

即x=

π

3

時，f(x)取得最大值3+t

∵f(x)max=1

，∴3+t=1，∴t=-2
（II）2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（10分）2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

5

6

π，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)為[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π](k∈Z)…(12分)

點評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡求值，解析式的求法，三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．