Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n²=a_n（S_n-

1

2

）．
（1）求S_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)b_n=

Sn

2n+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，不等式T_n≥

1

18

（m²-5m）對所有的n∈N^*恒成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，代入利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”、一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n²=a_n（S_n-

1

2

）=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)．
化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴數(shù)列{

1

Sn

}是首項(xiàng)為

1

S1

=

1

a1

=1，公差為2的等差數(shù)列．
故

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

．
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
故T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

．
又∵不等式T_n≥

1

18

（m²-5m）對所有的n∈N^*恒成立，
∴

1

3

≥

1

18

（m²-5m），
化簡得：m²-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
∴正整數(shù)m的最大值為6．

點(diǎn)評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．