Question

如圖為函數(shù)f（x）=

x

（0＜x＜1）的圖象，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），設△PQN的面積為S=g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表達式；
（Ⅱ）若g（t）在區(qū)間（m，n）上單調(diào)遞增，求n的最大值；
（Ⅲ）若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)f'（x），求出切線的斜率，由點斜式方程得到切線方程，求出P，Q的坐標，求出△PQN的面積即可得到g（t）；
（Ⅱ）求出g（t）的導數(shù)，再令它大于0，解得t的范圍，即可得到n的最大值；
（Ⅲ）求出g（t）的導數(shù)，令它為0，解出兩根，列表得到g（t），g′（t）的關系，畫出函數(shù)的圖象，由圖象求出直線y=b與它有兩個交點的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=

1

2

x-

1

2

=

1

2 x

，M(t，

t

)，
∴點M處的切線方程為y-

t

=

1

2 t

(x-t)，  ∴P(0，

t

2

)，Q(2

t

-t，1)，
又∵S_△PQN=

1

2

|PN|•|QN|=

1

2

（1-

t

t

）（2

t

-1）=

t

+

t t

4

-t，
∴g（t）=

t

+

t t

4

-t，0＜t＜1；
（Ⅱ）g（t）=

t

+

t t

4

-t，0＜t＜1則g′(t)=

3

8

t

+

1

2 t

-1，
由g′（t）＞0得，3t-8

t

+4＞0，即

t

＜

2

3

或

t

＞2（舍去），
∴0＜t＜

4

9

時，g（t）單調(diào)遞增，∴n的最大值是

4

9

；
（Ⅲ）g（t）=

t

+

t t

4

-t，0＜t＜1（圖象大致如右）
則g'（t）=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

t	(0， 4 9 )	4 9	( 4 9 ，1)
g'（t）	+	0	-
g（t）	遞增	極大值f( 4 9 )	遞減

g(0)=0，g(

4

9

)=

8

27

，g(1)=

1

4

又∵有且僅有兩個t，使得g(t)=b(0＜t＜1)成立， ∴b∈(

1

4

，

8

27

)．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間及極值，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．