Question

當(dāng)a∈[-1，1]時(shí)，f（x）=alg²x+4＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（a）=alg²x+4，當(dāng)lgx≠0時(shí)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式組

g(-1)＞0 g(1)＞0

即可求得x的取值范圍．

解答： 解：令g（a）=alg²x+4，
∵a∈[-1，1]時(shí)，g（a）=alg²x+4＞0恒成立，
∴當(dāng)a=0時(shí)，g（a）=4＞0恒成立；
當(dāng)a≠0且lgx=0，即x=1時(shí)，g（a）=4＞0恒成立；
當(dāng)a≠0且lgx≠0時(shí)，g（a）=alg²x+4為一次函數(shù)，
∴

g(-1)＞0 g(1)＞0

，即

4-lg2x＞0① 4+lg2x＞0②

，
解①有：-2＜lgx＜2，解得

1

100

＜x＜100且x≠1；
解②得：x∈R，且x≠0．
綜上所述，x的取值范圍為（

1

100

，100）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題．考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．