Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex，

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)；

（2）最小值為f(1)＝(1－k)e

【解析】試題分析：（1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

（2）當(dāng)k﹣1≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，f（x）min=f（0）=﹣k；當(dāng)1＜k≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k﹣1]上遞減，（k﹣1，1]上遞增，；當(dāng)k＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞減，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e．

試題解析：

解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下：

x	(－∞，k－1)	(k－1)	(k－1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		－ek－1

所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．

(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，

所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)＝－k.

當(dāng)0<k－1<1，即1<k<2時(shí)，

由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為

f(k－1)＝－ek－1.

當(dāng)k－1≥1，即k≥2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，

所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.