Question

正三棱錐S-ABC的高為2，側棱與底面所成的角為45°，則其內切球的半徑R=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意和正三棱錐的結構特征，求出底面的邊長和側面的高，再由三棱錐的體積相等列出方程，求出內切球的半徑．

解答：解：如圖：設SO⊥底面ABC，則O是正三角形的中心，取AB的中點D，連接SD、OD、OB，
即SD⊥AB，OD⊥AB，

由題意知，SO=2，∠SDO=45°，則SD=2

2

，
在RT△ODB中，OD=2，∠OBD=30°，BD=2

3

，則AB=4

3

，
設內切球的半徑R，由三棱錐的體積相等得，

1

3

×

1

2

×4

3

×4

3

×

3

2

×2=

1

3

×

1

2

×4

3

×4

3

×

3

2

×R+3×

1

3

×

1

2

×4

3

×2

2

×R
解得，R=2（

2

-1），
故答案為：2（

2

-1）．

點評：本題考查了正三棱錐的結構特征和體積相等法的應用，考查了空間想象能力．