Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1與直線y=2x有公共點(diǎn)與y=3x沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$]
• B． （1，$\sqrt{10}$]
• C． （1，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）與直線y=2x有交點(diǎn)，應(yīng)有$\frac{a}$＞2，再聯(lián)立直線y=3x，由于沒(méi)有交點(diǎn)，則$\frac{a}$≤3，可得e的范圍．

解答 解：設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn)，
則有$\frac{a}$＞2，
又雙曲線與直線y=3x沒(méi)有公共點(diǎn)，
則有$\frac{a}$≤3，
即有2＜$\frac{a}$≤3，
即有2＜$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}{a}$≤3，即2＜$\sqrt{{e}^{2}-1}$≤3，
解得$\sqrt{5}$＜e≤$\sqrt{10}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，直線與雙曲線相交等問(wèn)題，屬于中檔題．