Question

已知直線l過雙曲線的左焦點(diǎn)F，且與以實(shí)軸為直徑的圓相切，若直線l與雙曲線的一條漸近線恰好平行，則該雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得：設(shè)直線l的方程為：y=

b

a

(x-c)，則P（

c

2

，-

bc

2a

），因?yàn)镻恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，所以PA₁⊥PA₂，再結(jié)合b²=c²-a²可得答案．

解答：解：由題意可得：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為：y=±

b

a

x，
所以設(shè)直線l的方程為：y=

b

a

(x-c)，
則直線l與雙曲線的另一條漸近線的交點(diǎn)為：P（

c

2

，-

bc

2a

），
所以

PA1

=（-a-

c

2

，

bc

2a

），

PA2

=（a-

c

2

，

bc

2a

）．
因?yàn)镻恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，
所以PA₁⊥PA₂，即

PA1

•

PA2

=0，即（-a-

c

2

，

bc

2a

）•（a-

c

2

，

bc

2a

）=0
所以整理可得：b²c²=4a⁴-a²c²
所以結(jié)合b²=c²-a²可得：2a²=c²，所以e=

c

a

=

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與有關(guān)數(shù)值之間的關(guān)系，以及雙曲線的有關(guān)性質(zhì)．